作者：彭晓韬
日期：2020.04.28
[文章摘要]：薄膜干涉是一种日常生活中很常见的物理现象，对其干涉条件也有比较系统性的研究。但就自然光(太阳光)条件下，往往大于一定厚度的薄膜(也是为什么叫薄膜干涉而不叫膜干涉的原因所在)是不会出现干涉的，而厚度小到与可见光波长相近的肥皂泡，甚至接近分子直径的油膜却可以产生干涉现象。这就与光程差大于光的半波长即可产生干涉的条件相背。也与光是具有动能与动量的粒子假设相背：光子为什么不会穿透薄到与分子直径接近的油膜，反而会在分子表面与底面形成反射？本文就此提出一些不成熟的看法与想法，供有兴趣进一步研究者参考。
一、薄膜干涉现象及机理简介
从上图一和二可知：在太阳光照片下，空气中分布较均匀的微小水滴可使太阳光产生散射并形成类似薄膜干涉一样的彩虹。其机理是：水滴表面的散射光与入射进水滴并被水滴内表面反射出来的透射光合并并照射到人眼时，其复合后的光的主频会因入射进入水滴内部再被反射而透射出来的光程差主要与视角度有关而出现不同颜色的光带：波长与光程差相同或相近或成倍数关系的光将得到加强，其它波长的光将变弱。光程差小的复合后得到加强的光的频率偏高而呈现出蓝色光带，反之呈现出红色光带。视高度大于太阳视高度的水滴产生的光程差随视高度减小，因此，红光带在下方，蓝光带在上方；而视高度小于太阳视高度的水滴产生的光程差随视高度增大，因此红光带在上方，蓝光带在下方。这就是彩虹为什么会出现上下颜色颠倒的原因所在。
图四：薄膜干涉动图
物理光学-2.光的干涉
1.光波的相干叠加1.1相干叠加的条件1.2光程差与相位差1.3相干光的获得方法1.4光波叠加的类别
2.杨氏双缝干涉实验2.1 杨氏双缝干涉2.2 劳埃德镜干涉2.3 光场的时空相干性
3.薄膜干涉3.1劈尖薄膜的等厚干涉3.2牛顿环仪的等厚干涉3.3增透膜与高反射膜
4.迈克尔逊干涉仪
1.光波的相干叠加
1.1相干叠加的条件
一般来说，光波服从线性叠加原理：当两列或多列光波同时存在时，在它们的交叠区域内每点的光振动，是各列光波单独在该点所产生的光振动的合成。但是产生非线性效应的时候，线性叠加原理不成立。
光波可能会发生非相干叠加，光强不重新分布；也可能会发生相干叠加，导致光强在空间重新分布。
光波发生相干叠加的条件是：
频率相同。存在相互平行的振动分量。具有恒定的初相差。 三个条件缺一不可。
干涉加强减弱条件：
δ
ψ
=
ψ
2
?
ψ
1
?
2
π
r
2
?
r
1
λ
=
{
±
2
k
π
(
加
强
)
±
(
2
k
1
)
π
(
减
弱
)
(
k
=
0
,
1
,
.
.
.
)
\delta \psi=\psi_{2}-\psi_{1}-2\pi{{r_{2}-r_{1}}\over{\lambda}}=\begin{cases}\pm2k\pi\quad(加强)\\ \quad\\ \pm(2k 1)\pi\quad (减弱) \end{cases}\quad(k=0,1,...)
δψ=ψ2??ψ1??2πλr2??r1??=??????±2kπ(加强)±(2k 1)π(减弱)?(k=0,1,...)
1.2光程差与相位差
光程的定义：
l
=
n
r
l=nr
l=nr 其中r为光在介质中所走过的几何路程，n为介质折射率。
光程差为:
δ
=
l
2
?
l
1
=
n
2
r
2
?
n
1
r
1
\delta=l_{2}-l_{1}=n_{2}r_{2}-n_{1}r_{1}
δ=l2??l1?=n2?r2??n1?r1?
光程差与相位差之间的关系为：
δ
ψ
=
2
π
δ
λ
\delta \psi=2\pi{\delta\over\lambda}
δψ=2πλδ? 式中，λ为光在真空中的波长。
薄透镜具有等光程性。
如果用光程差表示干涉加强和减弱的条件，那么我们可以得到：
δ
=
{
±
2
k
λ
2
(
加
强
)
±
(
2
k
1
)
λ
2
(
减
弱
)
(
k
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
)
\delta= \begin{cases}\pm2k{\lambda\over 2}\quad(加强)\\ \quad\\ \pm(2k 1){\lambda\over 2}\quad(减弱) \end{cases}\qquad(k=0,1,2,...)
δ=??????±2k2λ?(加强)±(2k 1)2λ?(减弱)?(k=0,1,2,...)
1.3相干光的获得方法
普通光源可以分为化学发光、热致发光、电致发光、光致发光。他们的宏观激发方式有所区别，但是微观原理都是一样的。
在外界激励的条件下，光源中的原子、分子吸收能量而处于一种不稳定的激发态，在没有任何外界作用的情况下，它能自发地跃迁回低激发态或基态，并辐射出一定频率的电磁波，这一跃迁过程所经历的时间约为
1
0
?
8
10^{-8}
10?8s，这也是一个原子一次发光的时间。
获得相干光的方法有以下两类：分波前法和分振幅法。
分波前法。将光源发出的波前分成两部分（或多部分），让它们各自经历不同的路径后再相交，在交叠区域产生干涉，这种干涉成为分波前干涉。分振幅法。当一束光入射到透明介质的分界面上时，它所携带能量的一部分反射回来，另一部分投射过去，而能流密度正比于光波振幅的平方，因此光束的这种分割方式叫做分振幅法。一束光由部分反射法分成双束（或多束），经历不同路径后再交叠发生干涉，这种干涉称为分振幅大。
1.4光波叠加的类别
波的叠加可以分为以下三大类：
同频率平行振动的简谐波的叠加，波的干涉和衍射就属于这一类简谐波的叠加。不同频率平行振动简谐波的叠加。光拍技术、飞秒光脉冲、调制光波技术都涉及到这类简谐波的叠加。同频率不同振动方向在某一方向的平行分量的叠加，偏振光的干涉就属于这一类简谐波动的叠加，各向异性晶体中的寻常光和非寻常光经相位炎吃后，在同向分量的叠加就是这样的叠加。
2.杨氏双缝干涉实验
2.1 杨氏双缝干涉
杨氏双缝干涉实验装置如上图所示，单色点光源光源（可使用凸透镜汇聚）经过双缝光栅（分波前法）成像到像面上，形成一系列明暗相间的条纹。原理图如下。 经过近似计算，可以得到杨氏双缝干涉的明、暗纹条件为
δ
=
d
d
x
=
{
±
2
k
λ
2
(
明
纹
)
±
(
2
k
1
)
λ
2
(
暗
纹
)
(
k
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
)
\delta={d\over d}x= \begin{cases}\pm2k{\lambda\over 2}\qquad(明纹)\\ \quad\\ \pm(2k 1){\lambda\over 2}\qquad(暗纹) \end{cases}\qquad(k=0,1,2,...)
δ=dd?x=??????±2k2λ?(明纹)±(2k 1)2λ?(暗纹)?(k=0,1,2,...) 由此，很容易求出双缝干涉条纹中心位置的坐标x。
也可以计算出任意两相邻明（暗）纹之间的距离为：
δ
x
=
x
k
1
?
x
k
=
d
λ
d
\delta x=x_{k 1}-x_{k}={{d\lambda}\over{d}}
δx=xk 1??xk?=ddλ?
人眼分辨率极限约为0.065mm。
δx与k无关，条纹在屏上呈等间距分布。当d和d固定时，λ小则δx小，条纹密集；λ大则δx大，条纹稀疏。可以通过上式求出光波波长。杨氏干涉条纹是明暗相间、对称分布、等间距的平行直条纹。当在光路中加入介质时，条纹会上下平行移动（具体根据光程变化判断），形状不发生改变。
光强分布：
i
=
4
i
0
c
o
s
2
δ
ψ
2
i=4i_{0}cos^2{{\delta\psi}\over{2}}
i=4i0?cos22δψ?
i
0
i_{0}
i0?为透过双缝的光强。
明纹（干涉极大）中心的光强为:
i
m
a
x
=
4
i
0
=
2
2
i
0
i_{max}=4i_{0}=2^2i_{0}
imax?=4i0?=22i0? 这表明，双光束相干叠加时，其峰值强度与2的平方成正比。这一结论可推广到多光束干涉，即n束光相干叠加时，其峰值强度正比于n的平方。 暗纹（干涉极小）中心的光强为:
i
m
i
n
=
0
i_{min}=0
imin?=0
对比度：
γ
=
i
m
a
x
?
i
m
i
n
i
m
a
x
i
m
i
n
γ={{i_{max}-i_{min}}\over{i_{max} i_{min}}}
γ=imax? imin?imax??imin??
2.2 劳埃德镜干涉
劳埃德镜在反射时有半波损失，因此其光程差变为：
δ
=
d
d
x
λ
2
=
{
±
2
k
λ
2
(
明
纹
)
±
(
2
k
1
)
λ
2
(
暗
纹
)
(
k
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
)
\delta={d\over d}x {\lambda\over 2}= \begin{cases}\pm2k{\lambda\over 2}\qquad(明纹)\\ \quad\\ \pm(2k 1){\lambda\over 2}\qquad(暗纹) \end{cases}\qquad(k=0,1,2,...)
δ=dd?x 2λ?=??????±2k2λ?(明纹)±(2k 1)2λ?(暗纹)?(k=0,1,2,...)
2.3 光场的时空相干性
光场的时间相干性 理论上来讲，双缝干涉在像面上的明暗条纹清晰度应该不会变化。但是在实际上，只有中央明纹附近的干涉条纹比较清晰，较远的两侧条纹逐渐模糊，再远一些干涉条纹就消失了。出现这种原因的根本就在于光源发光的间断性。
由于两光路光程像差太大，导致同一波列所分出来的两束光首尾不能相见，光场中不能出现相干叠加的现象，叫做光的时间相干性，时间相干性问题来源于光源发光过程在时间上的间断性。
以
τ
\tau
τ表示相干时间，以
δ
t
\delta t
δt表示两分光束传播的时间差。那么发生干涉的基本条件是两分光束传播的时间差小于等于相干时间：
δ
t
≤
τ
\delta t≤\tau
δt≤τ 相干长度：
l
c
=
c
τ
l_{c}=c\tau
lc?=cτ
光场的空间相干性
光场中凡是相干孔径角以内的两点都具有一定的相干性，而孔径角以外的两点则是不相干的。
ψ
c
=
λ
b
\psi_{c}={\lambda\over b}
ψc?=bλ?
3.薄膜干涉
前面讲到的双缝干涉是一种分波前法，这一部分讲到的薄膜干涉都是分振幅法。
3.1劈尖薄膜的等厚干涉
θ
<
1
°
θ<1°
θ<1° 在上下两个面上反射光束的光程差为：
δ
=
2
n
e
或
δ
=
2
n
e
λ
2
（
一
个
面
有
半
波
损
失
）
\delta=2ne\quad或\quad\delta=2ne {\lambda\over 2}（一个面有半波损失）
δ=2ne或δ=2ne 2λ?（一个面有半波损失） 劈尖干涉的明暗条纹条件为：
δ
=
2
n
e
=
{
2
k
λ
2
(
明
纹
)
(
2
k
1
)
λ
2
(
暗
纹
)
(
k
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
)
\delta={2ne}= \begin{cases}2k{\lambda\over 2}\qquad(明纹)\\ \quad\\ (2k 1){\lambda\over 2}\qquad(暗纹) \end{cases}\qquad(k=0,1,2,...)
δ=2ne=??????2k2λ?(明纹)(2k 1)2λ?(暗纹)?(k=0,1,2,...) 或
δ
=
2
n
e
λ
2
=
{
2
k
λ
2
(
明
纹
)
(
2
k
1
)
λ
2
(
暗
纹
)
(
k
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
)
\delta={2ne {\lambda\over 2}}= \begin{cases}2k{\lambda\over 2}\qquad(明纹)\\ \quad\\ (2k 1){\lambda\over 2}\qquad(暗纹) \end{cases}\qquad(k=0,1,2,...)
δ=2ne 2λ?=??????2k2λ?(明纹)(2k 1)2λ?(暗纹)?(k=0,1,2,...) k为干涉条纹的级次。
由劈尖干涉的明、暗条纹条件可知，如果薄膜的折射率n是均匀的，则广场差仅由剥膜厚度e决定。凡是e相同的地方，光程差都相同，因而这些点上光强度也都相同。这就是说干涉条纹与薄膜的等厚线一致，同一级干涉条纹下的薄膜具有相同的厚度，这样的干涉条纹具有相同的厚度。这样的干涉条纹叫做等厚条纹，这样的干涉叫做等厚干涉。
劈尖干涉条纹任意相邻明纹（或暗纹）所对应的薄膜厚度差为：
δ
e
=
e
k
?
1
e
k
=
λ
2
n
\delta e=e_{k-1} e_{k}={\lambda\over{2n}}
δe=ek?1? ek?=2nλ? 两相邻明纹（或暗纹）中心的间距为
l
=
δ
e
s
i
n
θ
=
λ
2
n
s
i
n
θ
≈
λ
2
n
θ
=
λ
d
2
n
d
l={{\delta e}\over{sin \theta}}={{\lambda}\over{2nsin \theta}}≈{{\lambda}\over{2n \theta}}={{\lambda d}\over{2nd}}
l=sinθδe?=2nsinθλ?≈2nθλ?=2ndλd?
当θ增加时，条纹将朝着劈尖的方向移动；当θ减小时，条纹将背离劈尖移动。薄膜厚度没变化半个波长，光程差就改变一个波长，干涉条纹也就移动一级。在薄膜厚度变化的过程中，若移过视场中某点的条纹数目为n条，则该点薄膜厚度的变化量为：
δ
e
=
n
λ
2
\delta e=n{\lambda\over 2}
δe=n2λ?
3.2牛顿环仪的等厚干涉
入射光经薄膜上下表面反射所形成的两反射光束之间的光程差为
δ
=
2
n
e
λ
2
\delta=2ne {\lambda\over 2}
δ=2ne 2λ? 故牛顿环干涉的明、暗纹条件为：
δ
=
2
n
e
λ
2
=
{
2
k
λ
2
(
明
纹
)
(
2
k
1
)
λ
2
(
暗
纹
)
(
k
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
)
\delta={2ne {\lambda\over 2}}= \begin{cases}2k{\lambda\over 2}\qquad(明纹)\\ \quad\\ (2k 1){\lambda\over 2}\qquad(暗纹) \end{cases}\qquad(k=0,1,2,...)
δ=2ne 2λ?=??????2k2λ?(明纹)(2k 1)2λ?(暗纹)?(k=0,1,2,...) 经过计算化简可得牛顿环半径为：
明
环
r
=
(
2
k
?
1
)
r
λ
2
n
(
k
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
)
暗
环
r
=
k
r
λ
n
(
k
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
)
明环\quad r=\sqrt{{(2k-1)r\lambda}\over{2n}}\quad(k=1,2,3,...)\\ \quad\\ 暗环\quad r=\sqrt{{kr\lambda}\over{n}}\quad(k=0,1,2,...)
明环r=2n(2k?1)rλ?
?(k=1,2,3,...)暗环r=nkrλ?
?(k=0,1,2,...) n为介质折射率。
等厚干涉的应用：
测量为小长度和微小角度。测量长度的微小变化。检测精密零部件表面的光洁度。光学冷加工中的样板检测。
3.3增透膜与高反射膜
利用薄膜干涉原理，可以制成增透膜、高反射膜和干涉滤光片等。增透膜可以使反射光干涉相消，使透射光干涉加强。高反射膜可以使投射光干涉相消，反射光干涉加强。但他们的原理都是类似的，但是一般只能对很小的一部分波段做到增透或者高反。以增透膜为例。
薄膜上下表面反射光的光程差为：
δ
=
2
n
e
\delta=2ne
δ=2ne 反射光干涉相消的条件为：
δ
=
2
n
e
=
(
2
k
1
)
λ
2
\delta=2ne=(2k 1){\lambda\over 2}
δ=2ne=(2k 1)2λ? 由此可得：
e
=
(
2
k
1
)
λ
4
n
e=(2k 1){\lambda\over {4n}}
e=(2k 1)4nλ? 当k=0时，薄膜厚度最小，其值为：
e
m
i
n
=
λ
4
n
e_{min}={\lambda\over {4n}}
emin?=4nλ? 当去折射率近似为1时，就可以得到我们经常听到的结论：增透膜厚度一般为波长的四分之一。
4.迈克尔逊干涉仪
由图中几何关系得： 设m1和m2’之间的等效空气膜厚度为d，则像光源s’1和s’‘2之间的距离为2d。当入射光在半反射镜面g1上的入射角与45°的偏差角为i时，从像光源s’1和s’‘2发出的光束2与透镜e光轴的夹角也为i，两条光束的光程差为
δ
=
2
d
c
o
s
i
\delta =2dcosi
δ=2dcosi.当m1和m’2的距离d一定时，所有入射角相同的光束都具有相同的光程差，干涉情况完全相同。有像光源s’1和s’'2发出的相同倾角的光线将汇聚于透镜e的焦平面且以光轴为中心的圆周上，形成等倾干涉条纹。条纹形状为明暗相间的同心圆环，第m级明环的形成条件是
2
d
c
o
s
i
=
m
λ
2dcosi=m\lambda
2dcosi=mλ.
设透镜l2到接收屏的距离为d，当入射角为i时，相应的干涉环半径为r2，则有
c
o
s
i
=
d
r
2
d
2
cosi={d\over\sqrt{r^2 d^2}}
cosi=r2 d2
?d? 光束1和光束2在接收屏上会聚处所对应的光程差和相位差分别为
δ
=
2
d
c
o
s
i
=
2
d
d
r
2
d
2
\delta=2dcosi=2d{d\over\sqrt{r^2 d^2}}
δ=2dcosi=2dr2 d2
?d?
δ
ψ
=
2
π
λ
δ
=
4
π
d
λ
d
r
2
d
2
\delta\psi={{2\pi\over\lambda}\delta}={4\pi d\over\lambda}{d\over\sqrt{r^2 d^2}}
δψ=λ2π?δ=λ4πd?r2 d2
?d? 设光束1和光束2到达接收屏前光强为i0，则会聚之后的合成光强为：
i
=
4
i
0
c
o
s
2
δ
ψ
2
=
4
i
0
c
o
s
2
2
π
d
λ
d
r
2
d
2
i=4i_{0}cos^2{{\delta\psi}\over 2}=4i_{0}cos^2{2\pi d\over\lambda}{d\over\sqrt{r^2 d^2}}
i=4i0?cos22δψ?=4i0?cos2λ2πd?r2 d2
?d?
迈克尔逊干涉仪的干涉是一种典型的分振幅干涉。利用这种精密的仪器，可以将两相干光束在空间完全分开（两光臂分布在垂直的方向上），便于在光路中安插待测样品和其他器件，光程差也可以通过移动反射镜m1的方法来改变。m1每移动半个波长的距离，光程差就改变一个波长，干涉场中就有一条明（或暗）纹移过被认定的参考点。显然，条纹移动数目n与反射镜m1移动的距离δd之间的关系为：
δ
d
=
n
λ
2
\delta d=n {\lambda \over 2}
δd=n2λ? 迈克尔逊-莫雷实验就是利用这种仪器完成的。
一种光波经薄膜两表面反射后相互叠加所形成的干涉现象，称为薄膜干涉。
入射波的振幅被“分割”成若干部分，这样获得相 干光的方法常称为分振幅法。 ?
一、等倾干涉条纹（均匀透明介质薄膜）
可知a 和b 两束相干光的光程差为
(d为介质厚度，n为介质折射率，为外界介质的折射率，i为入射角，为单色光的波长）
凡以相同倾角入射的光，经膜的上、下表面反射后 产生的相干光束都有相同的光程差，从而对应于干涉图样中的一条条纹，故将此类干涉条纹称为等倾条纹
等倾干涉明纹的光程差的条件是 暗纹的光程差条件是
入射角i越大，光程差越小，干涉级也越低.在等倾环纹中，半径越大的圆环对应的i也越大，所以中心处的干涉级最高，越向外的圆环纹干涉级越低。
中央的环纹间的距离较大， 环纹较稀疏，越向外，环纹间的距离越小，环纹越密集.
两束透射的相干光的光程差是 可见反射光相互加强时，透射光将相互减弱，当反射光相互减弱时，透射光将相互加强，两者是互补的.从能量角度看来，干涉现象引起了光能的重新分布
二、增透膜和高反射膜
为了减少入射光能在透镜玻璃表面上反射时所引起的损失，在镜面上镀一层厚度均匀的透明薄膜，利用薄膜的干涉使反射光减到最小，这样的薄膜称为增透膜
薄膜两表面的反射光的光程差等于2nd,则干涉相消为：
膜的最小厚度为（当k=0时）
在镀膜工艺中，常把nd称为薄膜的光学厚度
减少其透射率，以增加反射光的强度：把低折射率的膜改成同样光学厚度的高折射率的膜，则薄膜上下表面的两反射光将是干涉加强，这就使反射光增强了，而透射光就将减弱，这样的薄膜就是增反膜或高反射膜
三、等厚干涉条纹（厚薄不均匀薄膜）
1.劈尖膜
在两玻璃片之间形成的空气薄膜称为空气劈尖.两玻璃片的交线称为棱边，在平行于棱边的线上，劈尖的厚度是相等的.
劈尖在c点处的厚度为d，在劈尖上下表面反射的两光线之间的光程差是
明纹：
暗纹：
干涉条纹为平行于劈尖棱边的直线条纹。每一明、暗条纹都与一定的k值相当， 也就是与劈尖的一定厚度d相当。所以，这些干涉条纹称为等厚干涉条纹
任何两个相邻的明纹或暗纹之间的距离l由下式决定：
式中为劈尖的夹角.愈小，干涉条纹愈疏；愈大，干涉条纹愈密.如果劈尖的夹角相当大，干涉条纹就将密得无法分开。因 此，干涉条纹只能在很尖的劈尖上看到
?
把金属丝夹在两块光学平面玻璃片之间，这样形成空气劈尖。如果用波长已知的单色光垂直地照射，即可由等厚干涉条纹，测出细丝的直径.制造半导体元件时，常常需要精确地测量硅片上的二氧化硅(sio2 )薄膜的厚度，这时可用化学方法把二氧化硅薄膜一部分腐蚀掉，使它成为劈尖形状，用已知波长的单色 光垂直地照射到二氧化硅的劈尖上，在显微镜里数出干涉条纹的数目，就可求出 二氧化硅薄膜的厚度h.
2.牛顿环
在一块光学平整的玻璃片b上，放一曲率半径r很大的平凸透镜a，在a、b之间形成一劈尖形空气薄层。当平行光束垂直地射向平凸透镜时，可以观察到在透镜表面出现一组干涉条纹，这些干涉条纹是以接触点o为中心的同心圆环，称为牛顿环
（d为明暗条纹处所对应的空气层厚度；r为平凸透镜半径）
d与r的平方成正比，所以离开中心愈远，光程差增加愈快，所看到的牛顿环也变得愈来愈密.
可求得在反射光中的明环和暗环的半径分别为：
明环：
暗环:
由此得透镜的曲率半径
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